문제

베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.

이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.

예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17, 19, 23)

자연수 n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 각 케이스는 n을 포함하며, 한 줄로 이루어져 있다. (n ≤ 123456)

입력의 마지막에는 0이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 출력한다.

관건은 시간 초과 피하기.

우직하게 for문을 돌리면 당연히 시간 제한에 걸린다. '에라토스테네스의 체'를 이해한다면 어렵지 않게 풀 수 있는 문제다. 골드바흐의 추측 문제 풀이에서처럼, n이 입력될 때마다 소수를 찾는 함수를 돌리면 역시 시간 초과에 걸린다. 처음에 소수 리스트를 만들어놓고 n을 입력받으면 리스트의 해당 구간에서 소수 개수를 세면 된다.

풀이는 아래.

def prime_list(n):
    p = [1] * (n+1)
    for i in range(2, int((n+1)**0.5)+1):
        if p[i] == 1:
            for j in range(i*2, n+1, i):
                p[j] = 0
    return p
p = prime_list(246913)
while True:
    n = int(input())
    if n == 0:
        break
    print(p[n+1:2*n+1].count(1))

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